A tízesztendős Kelemen Gáspár elsőrangú muzsikusok gyermeke: édesapja Kelemen Barnabás Kossuth-díjas hegedűművész, édesanyja Kokas Katalin Liszt-díjas, Érdemes Művész, hegedű- és brácsaművész.  Négy gyermekükből Gáspár a második, aki 2016-ban, a Magyar Televízió Virtuózok című tehetségkutató versenyén vált ismertté. Ifjú kora ellenére már számos hazai és nemzetközi elismerést tudhat magáénak. 2015-ben a Szicíliában megrendezett Gianluca Campochiaro Nemzetközi Zenei Versenyen nyert első helyezést, 2019-ben a XVI. Országos Koncz János Hegedűverseny nagydíját kapta meg.

Művészetét a legmagasabb szakmai és állami kitüntetésekkel ismerték el: Liszt Ferenc-, Kossuth-, Prima és Gramophone-díjakkal tüntették ki, a Magyar Köztársaság Lovagkeresztjének birtokosa.

Hangszere jelenleg egy 1742-es Guarneri del Gesù mesterhegedű, melyet a magyar államtól kapott használatra.